Cho $a$ là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log_a \dfrac{1}{a^{3}}=3$. B. $\log_a \dfrac{1}{a^{3}}=-\dfrac{1}{3}$. C. $\log_a \dfrac{1}{a^{3}}=-3$. D. $\log_a \dfrac{1}{a^{3}}=\dfrac{1}{3}$.

Lời giải:
Chọn C
Theo công thức logarit ta có: $\log_a \dfrac{1}{a^{3}}=\log_a a^{-3}=-3$.

Tìm tập xác định của hàm số $\displaystyle y=\log_{7}(7 - 4 x)$.

A. $\displaystyle D= \left(\frac{7}{4};+\infty\right)$. B. $\displaystyle D=\left(-\infty;\frac{7}{4}\right)$. C. $\displaystyle D=\mathbb{R} \backslash \left\{\frac{7}{4}\right\}$. D. $\displaystyle D=\mathbb{R} \backslash \left\{\frac{4}{7}\right\}$.

Lời giải:
Chọn B
Điều kiện xác định: $\displaystyle 7 - 4 x> 0 \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}$.

Tập xác định: $D=\left(-\infty;\frac{7}{4}\right)$.

Một hộp chứa 18 viên bi có màu sắc khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, quan sát màu sắc rồi trả lại vào hộp. Tiếp tục lấy lần 2 rồi trả lại, cứ tiếp tục như thế đến 5 lần. Gọi ${A_i}$ là biến cố "Lần thứ ${i}$ lấy được viên bi màu đen". Mệnh đề nào dưới đây mô tả biến cố $A_3 \cap A_4$?

A. Ít nhất một trong các lần lấy thứ ${3}$ và thứ ${4}$ đều lấy được bi màu đen. B. Cả hai lần lấy thứ ${3}$ và thứ ${4}$ đều không lấy được bi màu đen. C. Cả hai lần lấy thứ ${3}$ và thứ ${4}$ đều lấy được bi màu đen. D. Lần rút đầu tiên lấy được bi màu đen là lần lấy thứ 3.

Lời giải:
Chọn C
Biến cố $A_3 \cap A_4$ là Cả hai lần lấy thứ ${3}$ và thứ ${4}$ đều lấy được bi màu đen.

Cho biểu thức $P=\sqrt[6] {b^{25}}$ với $b>0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $P={b^{31}}$. B. $P={b^{\frac{6}{25}}}$. C. $P={b^{150}}$. D. $P={b^{\frac{25}{6}}}$.

Lời giải:
Chọn D
$P=\sqrt[6] {b^{25}} = {b}^{\tfrac{25}{6}}$. Vậy $P=b^{\tfrac{25}{6}}$.

Tính đạo hàm của hàm số $y=5 - 3 x$.

A. $y'=-3$. B. $y'=3$.
C. $y'=5 x - 3$. D. $y'=4 x^{2} - 3$.

Lời giải:
Chọn A
$y'=(5 - 3 x)'=-3$ .

Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình vuông, $SB\bot (ABCD)$. Gọi ${E}$ là trung điểm của ${BC}$. Tìm hình chiếu của đường thẳng ${SC}$ trên mặt phẳng $(ABCD)$?



A. ${CD}$. B. ${BC}$. C. ${CA}$. D. ${ED}$.

Lời giải:
Chọn B
Điểm ${S}$ có hình chiếu trên $(ABCD)$ là điểm ${B}$. Điểm ${C}$ có hình chiếu trên $(ABCD)$ là điểm ${C}$.

Do đó hình chiếu của đường thẳng ${SC}$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là ${BC}$.

Một hộp chứa 18 viên bi màu đỏ và 12 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi. Xét các biến cố:

${P}$ : Hai viên bi lấy được có màu đỏ.

${Q}$ : Hai viên bi lấy được có màu vàng.

Khi đó biến cố hợp của hai biến cố ${P}$ và ${Q}$ là:

A. Hai viên bi lấy ra chỉ có màu màu vàng. B. Hai viên bi lấy ra chỉ có màu màu đỏ. C. Hai viên bi lấy ra có màu khác nhau. D. Hai viên bi lấy ra có cùng màu.

Lời giải:
Chọn D
Biến cố hợp của hai biến cố ${P}$ và ${Q}$ là ${P}$ hoặc ${P}$ xảy ra.

Do đó $P \cup Q$ là biến cố hai viên bi lấy ra có cùng màu.

Cho ${d,c,\Delta}$ là các đường thẳng. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. Nếu $d\bot c$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $c$ thì $\left( \alpha \right)\bot \left( \beta \right)$.
B. Cho $d\bot c$. Mọi mặt phẳng chứa $c$ đều vuông góc với $d$.
C. Cho $d\bot c,d\subset \left( \alpha \right)$. Mọi mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $c$ và vuông góc với $d$ thì $\left( \beta \right)\bot \left( \alpha \right)$.
D. Cho ${d,c}$. Mọi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $\Delta$ trong đó $\Delta\bot d,\Delta\bot c$ thì đều vuông góc với mặt phẳng $\left( d,c \right)$.

Lời giải:
Chọn C
Cho $d\bot c,d\subset \left( \alpha \right)$. Mọi mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $c$ và vuông góc với $d$ thì $\left( \beta \right)\bot \left( \alpha \right)$ là khẳng định đúng.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0=-9\in K$. Tìm khẳng định đúng.

A. $\displaystyle f'(-9)=\lim_{x \rightarrow -9} \dfrac{f(x)+f(-9)}{x + 9}$. B. $\displaystyle f'(-9)=\lim_{x \rightarrow -9} \dfrac{f(x)-f(-9)}{x + 9}$.
C. $\displaystyle f'(-9)=\lim_{x \rightarrow -9} \dfrac{f(x)-f(-9)}{x - 9}$. D. $\displaystyle f'(-9)=\lim_{x \rightarrow -9} \dfrac{f(x)+f(-9)}{x - 9}$.

Lời giải:
Chọn B
$\displaystyle f'(-9)=\lim_{x \rightarrow -9} \dfrac{f(x)-f(-9)}{x + 9}$.

Cho đường thẳng ${a}$ vuông góc với mặt phẳng $(\gamma)$, đường thẳng ${d}$ nằm trong mặt phẳng $(\gamma)$. Tìm khẳng định đúng?
A. $a\equiv d$. B. $a \subset (\gamma)$. C. $a\bot d$. D. ${a}$ cắt ${d}$.

Lời giải:
Chọn C
$a\bot d$ là khẳng định đúng.

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y=- 5 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 3$.

A. $y''=- 60 x^{2} - 18 x + 2$. B. $y''=- 20 x^{3} - 9 x^{2} - x - 4$.
C. $y''=- 20 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x - 4$. D. $y''=- 60 x^{2} - 18 x - 6$.

Lời giải:
Chọn D
$y'=\left(- 5 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 3\right)'=- 20 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x - 4.$

$y''=\left(- 20 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x - 4\right)'=- 60 x^{2} - 18 x - 6$.

Cho ${A}$ và ${B}$ là hai biến cố xung khắc. Biết $P(A)=0,1$ và $P(B)=0,64$. Tính xác suất của biến cố ${A \cup B}$.

A. ${0,04}$. B. ${0,74}$. C. ${0,32}$. D. ${0,06}$.

Lời giải:
Chọn B
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)=0,1+0,64=0,74$ .

Cho hàm số $y=\log_7 {(5 x + 4)}$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R} \backslash \left\{- \frac{4}{5}\right\}$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{4}{5};+\infty)$.
c) Tập nghiệm của phương trình $\log_7 {(5 x + 4)}=0$ là $S=\left(- \frac{3}{5};+\infty \right)$.
d) Tập nghiệm của phương trình $\log_7 {(5 x + 4)}<3$ là $S=(- \frac{4}{5};\frac{339}{5})$.

Lời giải:
a-sai, b-đúng, c-sai, d-đúng.

a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Hàm số xác định khi $5 x + 4>0 \Rightarrow x>- \frac{4}{5}$.

Tập xác định: $D=(- \frac{4}{5};+\infty)$.
b) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \frac{4}{5};+\infty)$.
c) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$\log_7 {(5 x + 4)}=0 \Rightarrow x=- \frac{3}{5}$.

Tập nghiệm: $S=\left\{- \frac{3}{5} \right\}$.
d) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

$\log_7 {(5 x + 4)}<3 \Rightarrow$ $x<\frac{339}{5}$.

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm: $S=(- \frac{4}{5};\frac{339}{5})$.

Cho hình chóp ${S.BCDA}$ có $SB\bot (BCDA)$, đáy là hình vuông tâm ${O}$ cạnh bằng ${4}$, ${SC=4 \sqrt{2}}$.

a) Chiều cao của hình chóp ${S.BCDA}$ là độ dài cạnh ${SA}$.
b) Hai mặt phẳng $(SBA)$ và $(SDA)$ là hai mặt phẳng không vuông góc.
c) Thể tích của khối chóp đã cho bằng $64$.
d) Khoảng cách từ điểm ${A}$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\frac{16}{33}$.

Lời giải:
a-sai, b-sai, c-sai, d-sai.

a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Chiều cao của hình chóp ${S.BCDA}$ là độ dài cạnh ${SB}$.
b) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Hai mặt phẳng $(SBA)$ và $(SDA)$ là vuông góc nhau vì có $DA\bot (SBA)$ và $DA\subset (SDA)$.
c) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$SB^2=SC^2-BC^2=32-16=16\Rightarrow SB=4$.

Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

$V=\dfrac{1}{3}.S_{BCDA}.SB=\dfrac{1}{3}.16.4=\frac{64}{3}$.
d) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Ta có: $CD\bot SB,CD\bot BC$.

Kẻ $BH\bot SC$, suy ra $BH\bot (SCD)$.

Vì $BA//(SCD)$ nên $d(A,(SCD))=d(B,(SCD))=BH=\dfrac{SB.BC}{\sqrt{SB^2+BC^2}}$$=\dfrac{4.4}{\sqrt{16+16}}=2 \sqrt{2}$.

Lớp 11A3 có 35 học sinh. Trong đó có 17 bạn thích cờ tướng, có 15 bạn thích cờ vua, có 7 bạn thích cả hai. Đồng thời có các bạn không thích cờ tướng và cờ vua. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Gọi ${A}$ là biến cố "Học sinh được chọn thích cờ tướng", ${B}$ là biến cố "Học sinh được chọn thích cờ vua". Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

a) $P(A)=\frac{39}{50}$.
b) Xác suất chọn được bạn chỉ thích cờ vua là $\frac{61}{100}$.
c) $P(A\cup B)=\frac{5}{7}$.
d) Xác suất chọn được bạn không thích cả cờ tướng và cờ vua là $\frac{19}{100}$.

Lời giải:
a-sai, b-sai, c-đúng, d-sai.

a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$n(\Omega)=35$.

$n(A)=17$.

$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{17}{35}$.
b) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$n(\Omega)=35$.

Số bạn chỉ thích cờ vua: $n(C)=15-7=8$.

$P(C)=\dfrac{n(C)}{n(\Omega)}=\frac{8}{35}$.
c) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

$n(A\cup B)=17+15-7=25$.

$P(A\cup B)=\dfrac{n(A\cup B)}{n(\Omega)}=\frac{5}{7}$.
d) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Số các bạn không thích cả hai môn là: $n(D)=35-25=10$.

Xác suất cần tính là: $P(D)=\dfrac{n(D)}{n(\Omega)}=\frac{2}{7}$.

Cho hàm số $y=x^{4} - x^{2} + 3$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 4 có hệ số góc bằng 254.
b) Đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là $y''=12 x^{2} - 2$.
c) Đạo hàm của hàm số đã cho là $y'=4 x^{3} - x + 4$.
d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm $H(5;603)$ có phương trình là $y=490 x - 1847$.

Lời giải:
a-sai, b-đúng, c-sai, d-đúng.
a) Khẳng định đã cho là sai vì:

$y'=4 x^{3} - 2 x$ nên hệ số góc là $k=y'(4)=248$.
b) Đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là $y''=12 x^{2} - 2$ là khẳng định đúng.

$y'=4 x^{3} - 2 x, y''=12 x^{2} - 2$
c) Đạo hàm của hàm số đã cho là $y'=4 x^{3} - x + 4$ là khẳng định sai vì $y'=4 x^{3} - 2 x$.
d) Khẳng định đã cho là đúng.

Ta có: $f'(x)=4 x^{3} - 2 x \Rightarrow f'(5)=490$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y=490(x-5)+603 \Leftrightarrow y=490 x - 1847$.

Một đề trắc nghiệm có 50 câu hỏi gồm 9 câu mức độ nhận biết, 10 câu mức độ thông hiểu và 31 câu mức độ vận dụng. Xác suất để bạn Minh làm hết các câu mức độ nhận biết là 0,89; làm hết câu mức độ thông hiểu là 0,83; và làm hết câu mức độ vận dụng cao là 0,59. Tính xác suất để bạn Minh làm trọn vẹn 50 câu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:
Gọi ${A,B,C}$ lần lượt là các biến cố An làm hết các câu mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng.

Ta có $P(A)=0,89, P(B)=0,83, P(C)=0,59$.

Vì các biến cố độc lập nên
$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)=0,89\cdot 0,83\cdot 0,59=0,44.$
Đáp án: 0,44

Ông An lần đầu gởi vào ngân hàng 92 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất $1,2\%$ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 12 tháng, ông An rút hết cả vốn lẫn lãi rồi dùng số tiền đó cộng thêm 93 triệu đồng gửi tiếp ngân hàng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền ông An nhận được 3 năm sau đó là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Lời giải:
Số tiền có được sau 12 tháng là $S_1=92(1+1,2\%)^4=96,50$ triệu.

Tổng tiền cả vốn lẫn lãi sau 3 năm là:

$S_2=189,50(1+1,2\%)^{12}=219$ triệu.
Đáp án: 219

Một vật chuyển động thẳng không đều xác định bởi phương trình $s(t)=2 t^{2} + 3 t + 3$, trong đó ${s}$ tính bằng mét và ${t}$ tính bằng giây. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm $t=2$.

Lời giải:
$v(t)=\left(2 t^{2} + 3 t + 3\right)'=4 t + 3.$

$v(2)=11 $ m/s.
Đáp án: 11

Quãng đường chuyển động của một chất điểm xác định bởi $s(t)=4 t^{3} - 22,8 t^{2} + 47 t + 3$, trong đó ${s}$ tính bằng mét và ${t}$ tính bằng giây. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu (quá trình tính toán các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:
Vận tốc của chất điểm $v(t)=s'(t)=12 t^{2} - 45,6 t + 47,0$.

Gia tốc của chất điểm $a(t)=v'(t)=24 t - 45,6$.

Gia tốc triệt tiêu khi: $a(t)=0\Leftrightarrow 24 t - 45,6=0 \Leftrightarrow t=1,9$.

Vận tốc lúc đó của chất điểm là: $v\left(1,9\right)=3,68$ (m/s).
Đáp án: 3,68

Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là chữ nhật với $AB=\sqrt{2}, AD=2 \sqrt{2}$. Biết $SA\bot (ABCD)$ và $SB=2 \sqrt{2}$. Tính thể tích của khối chóp ${S.ABCD}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Lời giải:
$SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=\sqrt{6}$.

$S_{ABCD}=AB.AD=4$.

$V=\dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.4.\sqrt{6}={\frac{4 \sqrt{6}}{3}}$=3,3.
Đáp án: 3,3